Самое интересное за месяц с комментариями шеф-редактора. То, что нельзя пропустить!

Семь раз отмерь, чтобы не отрезали

2010
Фото: Fotolia / PhotoXPress.ru

Как рассчитать оптимальные доли финансовых активов в портфеле, исходя из желаемого риска, и как возложить всю ответственность на Excel

Полноценная торговая система должна не только сообщать трейдеру о моменте входа и выхода, но также указывать оптимальный размер позиции в конкретный момент. Но о последнем многие часто забывают или просто не уделяют должного внимания. Многие считают, что разработки удачного торгового плана без методики управления капиталом достаточно самой по себе. Однако это не так, и самые большие убытки, которые случались на бирже, связаны именно с отсутствием адекватного представления о размере позиции.

Часто инвесторы руководствуются каким-то субъективным мнением о том, сколько денег надо выделить под покупку той или иной акции. Но на самом деле размер позиции в каждой конкретной сделке четко связан с величиной риска, которую мы готовы принять по отношению к сумме нашего депозита. Чтобы не быть голословными, в редакции журнала D' решили создать свой «портфель» и рассчитать оптимальные размеры позиции для каждой входящей в него акции с учетом ожидаемого риска и доходности.

Больше акций — меньше риск, или Красота матобоснования

Суть нашего подхода — обычная портфельная теория, начало которой положили работы Гарри Марковица. При этом специально для скептиков, которые не верят в экономику как в науку в принципе, добавим, что в основе портфельной теории лежит довольно простое и изящное математическое обоснование, а применить ее под силу обычному старшекласснику.

Итак, если вы представляете себе набор акций, из которых хотели бы сформировать свой инвестиционный портфель, то для каждой бумаги следует рассчитать оптимальные доли. При этом нужно учитывать такие параметры, как ожидаемая доходность, ожидаемый уровень риска и корреляция. Рассмотрим их более подробно.

Ожидаемая доходность акции рассчитывается на основе ее исторической доходности за предыдущее периоды и равна их среднему арифметическому. В таблице 1 представлена доходность условного актива (или акции) за пять лет. Среднее арифметическое доходностей за пять лет составит 7,8%, что и будет величиной ожидаемой доходности. Для определения ожидаемой доходности всего портфеля (Ep), нужно сложить все произведения ожидаемой доходности бумаг и их долей:

 Формулы Д штрих
,

где Ep — ожидаемая доходность портфеля;

ei — ожидаемая доходность i-го финансового инструмента, входящего в портфель;

Wi — доля i-го финансового инструмента в портфеле.

Очевидно, что сумма всех долей ΣWi = 1.

Иногда в качестве ожидаемой доходности акции берут величину потенциального роста (upside) из аналитических обзоров. Мы же будем действовать согласно классической портфельной теории, в которой для расчетов используются исторические значения.

Степень возможного отклонения доходности акции от ожидаемого значения определяют через дисперсию. Дисперсия показывает, насколько фактические доходности акции отклоняются от ее средней (ожидаемой) доходности. Формула, по которой вычисляется дисперсия, наверняка знакома многим еще со школы: ее использовали для определения погрешности измерений в лабораторных работах по физике. Она имеет следующий вид:

 Формулы Д штрих
,

где ei — доходность акции за i-й период;

<e> — среднее значение акции за весь рассматриваемый временной интервал;

n — количество временных периодов;

σ2 — дисперсия доходности акции на данном временном интервале.

В качестве примера снова возьмем данные из таблицы 1 и вычислим по ним дисперсию актива за пять лет. Здесь <e> — среднее значение доходности актива за рассматриваемый временной интервал, то есть его ожидаемая доходность, равная 7,8%. Тогда получаем:

((7 – 7,8)2 + (–4 – 7,8)2 + (16 – 7,8)2 + (21 – 7,8)2 + (–3 – 7,8)2) / 5 = 99,4.

Размерность дисперсии — процент в квадрате. Это неудобно, поскольку сама доходность акции измеряется в процентах. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень, получая таким образом стандартное (или среднее квадратическое) отклонение, которое в нашем случае и определяет уровень ожидаемого риска. Тогда σ для одного актива имеет вид:

 Формулы Д штрих

К сожалению, стандартное отклонение σp всего портфеля не связано с σ каждой входящей в него акции таким простым соотношением, как в случае с ожидаемой доходностью. Для определения уровня риска портфеля вводится еще одно математическое действие — вычисление ковариации.

Ковариация показывает нам взаимосвязь доходности двух акций и бывает положительной, отрицательной и нулевой. При этом чем больше абсолютное значение ковариации, тем теснее связь между бумагами. Если ковариация положительная, то при изменении одной величины другая будет меняться в том же направлении. Если отрицательная, величины будут изменяться в противоположных направлениях. В случае нулевой ковариации (близкой к нулю) считается, что связь между случайными величинами отсутствует. Рассмотрим ковариацию между двумя акциями A и B. Формула для ее вычисления имеет следующий вид:

 Формулы Д штрих
 ,

где eAi — доходность акции А за i-й период,

eBi — доходность акции В за i-й период,

<eA>, <eB> — средние (ожидаемые) доходности акций А и B за весь рассматриваемый временной интервал.

Определим ковариацию двух акций (см. таблицу 2). Ожидаемая доходность за пятилетний временной интервал у акции А равна 6%, а у В — 12,4%. Тогда получаем:

((10 – 6) х (14 – 12,4) + (–12 – 6) х (3 – 12,4) + (23 – 6) х (17 – 12,4) + (11 – 6) х (22 – 12,4) + (–2 – 6) х (6 – 12,4)) / 5 = 70,6%.

Если в портфеле имеется более двух бумаг, то нам нужно вычислить ковариацию для всех пар. При этом можно заметить, что COV(A, B) = COV(B, A) и COV(A, A) = σ2A.

Итоговая формула σp для портфеля из N активов будет записываться в матричной форме (за счет множества значений ковариаций), однако мы не будем углубляться в сложности, тем более что для наших целей этого и не требуется. Но для портфеля из двух акций выражение для σp имеет достаточно простой вид:

 ,

где WА, WB — доли акций А и В в портфеле;

σA, σB — стандартное отклонение акций А и В;

COV(A, B) — ковариация доходностей акций А и B.

Из формулы видно, что при фиксированных значениях стандартных отклонений акций и ковариации на дисперсию портфеля (σ2p) может повлиять только распределение долей между А и В. Таким образом, имея некоторый набор акций в портфеле, всегда можно получить минимальный уровень риска для данной совокупности активов, просто меняя их доли в портфеле. Теперь, понимая эту важную вещь, попробуем подобрать такие доли для нашего портфеля, чтобы минимизировать возможные убытки в будущем.

Оптимизация: исполнима

На 8 ноября 2010 года «портфель» журнала D' включал акции 25 эмитентов. Рассчитаем для каждой из них оптимальную долю, исходя из критерия максимальной доходности при заданном уровне риска.

Все расчеты будут проводиться в программе Excel. Временной интервал возьмем с января по октябрь 2010 года, расчетный период — один месяц. Исходя из цен закрытия на конец периода, рассчитаем доходности за каждый месяц. В таблице 3 представлены результаты вычислений (все значения в долях единицы). При этом нужно отметить, что рассчитанная ожидаемая доходность является средней за месяц, и если мы хотим привести ее к годовой, то полученное значение следует умножить на 12 (количество месяцев в году). Дисперсия вычисляется с помощью встроенной функции Excel — ДИСПР, и итоговое значение аналогичным образом умножается на 12.

Наиболее сложный момент — нахождение матрицы ковариации, которая содержит весь набор парных ковариаций между активами портфеля. Имея 25 акций, нам нужно рассчитать 300 ковариаций, не считая 25 дисперсий (которые являются диагональными элементами матрицы ковариации). Рассчитывать это вручную — занятие явно не из приятных, поэтому воспользуемся возможностями Excel. В меню «Сервис» выбираем «Анализ данных». В появившемся окне нам предлагаются различные математические инструменты анализа данных, среди которых можно найти и ковариацию. После ее вызова должно появиться окно. В поле «Входной интервал» нужно ввести рассчитанные ранее месячные доходности (см. таблицу 3).

Следующий момент — «Группировка». На нее следует обратить особое внимание, поскольку именно она определяет набор данных, по которым рассчитывается ковариация. В нашем случае она будет располагаться по строкам, поскольку периоды временного интервала у нас расположены горизонтально. В подразделе «Параметры вывода» можно воспользоваться любым способом вывода результатов, но, если размер матрицы будет достаточно большим, как в нашем случае, лучше выбрать пункт «Новый рабочий лист». В результате мы должны получить матрицу ковариаций размером 25 x 25. Как мы отмечали ранее, COV(A, B) = COV(B, A). Значит, полученная матрица будет симметричной, поэтому Excel не заполнит ячейки выше диагонали, на которой, в свою очередь, расположены значения дисперсий доходности акций COV(A, A) = σ2A.

Последний шаг в вычислении дисперсии портфеля — перемножение строки со значениями долей акций в портфеле на матрицу ковариации с последующим умножением результата на столбец с долями. Поскольку мы еще не знаем, какие доли приписывать каждой акции, то распределим их пока равномерно по портфелю, то есть вес всех акций в портфеле будет одинаков и составит 1/25 = 0,04. Теперь займемся умножением. Сначала перемножается строка с долями на матрицу ковариаций с помощью команды МУМНЖ(). Результатом умножения будет строка, которую нужно умножить на столбец долейс помощью той же команды МУМНЖ(). Полученное наконец число и есть дисперсия нашего портфеля. Для вычисления стандартного отклонения, которое в данном случае является уровнем риска портфеля, умножим дисперсию на 12 и извлечем из полученного значения квадратный корень.

Сколько вешать в граммах

Вот теперь можно решить, собственно, нашу основную задачу — вычислить оптимальные доли акций в портфеле. Снова воспользуемся возможностями Excel и в меню «Сервис» выберем «Поиск решения». В подразделе «Установить целевую ячейку» прописываем адрес ячейки, где у нас рассчитывается ожидаемая доходность портфеля. В нашем случае это ячейка D27 . Следующий подраздел определяет значение целевой ячейки. Поскольку мы хотим иметь максимальную доходность при любых условиях, нужно выбрать пункт «Максимальное значение». В подразделе «Изменяя ячейки» вводим диапазон ячеек, где прописаны доли нашего портфеля — В2–В26. И последнее поле — «Ограничения», где мы указываем дополнительные условия. В нашем случае это значения долей в интервале от 0,001 до 0,006 включительно, сумма долей должна быть равна единице (обязательное условие, если мы не берем «плечи» и распределяем по активам все деньги полностью), и последнее — назначение верхней границы приемлемого уровня риска. Это максимальное значение просадки портфеля в процентах, величину которой каждый выбирает самостоятельно (исходя из собственных торговых предпочтений).

Вообще-то большинство акций имеют однонаправленную корреляцию (особенно это касается российского фондового рынка), а также собственный уровень риска. В результате этого значение минимальной просадки портфеля естественным образом ограничивается снизу. Этот минимальный размер мы находим эмпирически, то есть методом подбора.

После того как все параметры введены, можно нажать кнопку «Выполнить», и в столбце с весами появятся новые значения удельных весов акций. Таким образом, каждый раз фиксируя определенное значение допустимого уровня риска (стандартного отклонения), мы получаем портфель с таким распределением долей, при котором его доходность максимальна.

Если повторить решение задачи для различных уровней риска, мы получим целый набор значений ожидаемой доходности оптимального портфеля. Эти данные позволяют построить так называемую эффективную границу, или границу Марковица. На графике 1 изображен эскиз этой кривой (14 точек), и можно заметить, что минимальный уровень риска нашего портфеля составляет около 18%. При этом ожидаемая доходность будет порядка 41% годовых. При увеличении уровня риска доходность также возрастает. В таблице 4 представлен итоговый портфель с рассчитанными оптимальными долями, соответствующими минимальному уровню риска — 18%. Кроме того, рассчитаны ожидаемая годовая доходность каждой акции и доходность соответствующей доли в портфеле.

Все, о чем мы говорили выше, относится к так называемой стратегии buy & hold, а полученная в итоге доходность была бы таковой, если бы мы сформировали портфель в начале этого года. Тем не менее эти результаты дают некий ориентир, на который можно полагаться в своих ожиданиях. Рассмотренный пример позволяет понять, насколько важно в своем торговом методе иметь систему управления капиталом. Если вы еще не используете ее, то ради эксперимента попробуйте торговать вместе с ней. Разница в результатах будет заметна практически сразу.

«D`» №23 (111)
Подписаться на «Эксперт» в Telegram



    Реклама




    Альфа-банк меняет карты

    Альфа-банк приступил к полному обновлению своей линейки дебетовых карт — новая линейка вступила в силу 25 сентября. Флагманским продуктом в ней станет Альфа-карта

    Российский IT - рынок подошел к триллиону

    И сохраняет огромный потенциал роста. Как его задействовать — решали на самом крупном в России международном IT-форуме MERLION IT Solutions Summit

    Химия - 2018

    Развитие химической промышленности снова в приоритете. Как это отражается на отрасли можно узнать на специализированной выставке с 29.10 - 1.11.18

    Опасные игры с ценами

    К чему приводят закупки, ориентированные на максимально низкие цены

    В октябре АЦ Эксперт представит сразу два рейтинга российских вузов

    Аналитический центр «Эксперт» в октябре представит сразу два рейтинга российских вузов — изобретательской и предпринимательской активности.

    Эффективное управление – ключ к рынку для любого предприятия

    Повышение производительности труда может привести к кардинальному снижению себестоимости продукции и позволит российским компаниям успешно осваивать любые рынки


    Реклама