Трехмерный прорыв

Петербургский математик Григорий Перельман завершает доказательство гипотезы Пуанкаре

"Негеометр - да не войдет" - было, по преданию, высечено над входом в платоновскую Академию в Афинах. Этот древний девиз вполне применим и к современной математике. Мы, "негеометры", знаем, что такая наука есть, что она живет и развивается, но часто ли мы слышим о новых математических результатах и открытиях? Еще реже находки математиков дают повод для громких сенсаций.

Недавно такой повод возник: Григорий Перельман из Петербургского отделения Математического института им В.А. Стеклова РАН сообщил о том, что нашел доказательство гипотезы Пуанкаре - одной из фундаментальных задач топологии. Гипотеза Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических проблем, за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) назначил премию в один миллион долларов.

Именно эта перспектива и привлекла столь широкое внимание к результатам, полученным Григорием Перельманом. Математики узнали о них из двух препринтов, опубликованных в ноябре 2002-го (//arxiv.org/pdf/math.DG/0211159) и марте 2003 года (//arxiv.org/pdf/math.DG/0303109). Впрочем, полного решения задачи петербургский математик пока еще не обнародовал (изложены лишь предварительные результаты), и сейчас научная общественность ожидает появления завершающей части работы.

Проблемы века

В 1900 году, выступая на Международном математическом конгрессе в Париже, Давид Гильберт (David Hilbert) сформулировал 23 важнейшие проблемы, которые, по его мнению, предстоит разрешить в XX веке. Как оказалось, 38-летний немецкий математик чрезвычайно точно оценил ситуацию в науке: поиск решения проблем Гильберта во многом определил пути развития математики в XX веке. К настоящему времени решена 21 проблема из этого списка.

В конце минувшего века некоторые математики, вдохновленные примером Гильберта, пытались сформулировать подобные стратегические задачи на XXI век. Однако ни один из предложенных ими списков проблем не оказался настолько убедительным, чтобы получить безусловное признание математической общественности. Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому финансисту Лондону Клэю (London Clay). В 1998 году на его средства был основан Математический институт Клэя в Кембридже (штат Массачусетс, США) и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики. Из множества таких проблем эксперты института выбрали семь - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems.

Некоторые из этих семи проблем имеют солидную историю. Например, гипотеза Римана о распределении простых чисел в натуральном ряде возникла еще в XIX веке. Это одна из двух проблем Гильберта, оставшихся нерешенными. Другая - гипотеза Пуанкаре тоже имеет почтенный возраст: она сформулирована в 1904 году. Ее автор Анри Пуанкаре (Henri Poincarй) был выдающимся французским математиком, оставившим яркий след в теории дифференциальных уравнений, топологии, небесной механике и математической физике.

Проблема с петлей

Анри Пуанкаре был одним из основоположников топологии - математической дисциплины, изучающей феномен непрерывности в геометрии. Сформулированная им гипотеза относится к так называемой топологии многообразий - особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность. Двухмерные многообразия можно наглядно представить, например, как поверхности трехмерных тел - сферу (поверхность шара) или тор (поверхность бублика).

Представим себе обычный воздушный шарик: его можно надувать, сдувать, пережимать, изгибать или скручивать и при этом менять его форму в очень широких пределах. Однако, не прибегая к разрезанию и склейке (то есть к нарушению непрерывности поверхности), мы не сможем превратить шарик в бублик - равно как и бублик в шарик. Топологи говорят, что сфера негомеоморфна тору, то есть что эти поверхности невозможно однозначно отобразить одно на другое (или, проще, сфера и тор различны по своим топологическим свойствам). А вот поверхность воздушного шарика при любых его деформациях гомеоморфна сфере, равно как поверхность надувного спасательного круга (как бы его ни деформировали) - тору. Иными словами, любая замкнутая двумерная поверхность, не имеющая сквозных отверстий, обладает теми же топологическими свойствами, что и двухмерная сфера.

Гипотеза Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в XIX веке). Как заметил французский математик, одно из важнейших свойств двухмерной сферы состоит в том, что любая замкнутая петля (например, лассо), лежащая на ней, может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Для тора это справедливо не всегда: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли. В 1904 году Пуанкаре высказал предположение, что если петля может стягиваться в точку на замкнутой трехмерной поверхности, то такая поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы оказалось чрезвычайно сложной задачей.

Сразу уточним: упомянутая нами формулировка гипотезы Пуанкаре говорит вовсе не о трехмерном шаре, который мы можем представить себе без особого труда, а о трехмерной сфере, то есть о поверхности четырехмерного шара. Нам, "негеометрам", трудно вообразить такую сферу. Но в конце 1950-х годов неожиданно выяснилось, что с многообразиями высоких размерностей работать гораздо легче, чем с трех- и четырехмерными. Очевидно, отсутствие наглядности - далеко не главная трудность, с которой сталкиваются математики в своих исследованиях.

Задача, подобная гипотезе Пуанкаре, для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом (Stephen Smale), Джоном Стэллингсом (John Stallings) и Эндрю Уоллесом (Andrew Wallace). Подходы, использованные этими учеными, оказались, однако, неприменимы к четырехмерным многообразиям. Для них гипотеза Пуанкаре была доказана лишь в 1981 году Майклом Фридманом (Michael Freedman). Трехмерный же случай оказался самым сложным; его решение и предлагает Григорий Перельман.

Какие бывают вселенные?

Говоря о двухмерных многообразиях, мы рассматривали их как поверхности геометрических фигур (сферы и тора), иллюстрациями которых нам служили надувной шарик и спасательный круг или бублик. Вообще, нам гораздо легче представить себе геометрические фигуры, а не топологические объекты, вроде многообразий (видимо, из-за того, что нас всех учили в школе обычной геометрии, а вот топологии не учили). Топологи, однако, имеют дело именно с многообразиями, и переход от них к геометрическим структурам представляет собой нетривиальную и интересную задачу.

Представим себе двухмерное существо (это может быть, например, вырезанный из бумаги человечек). Оно обитает на сфере или на торе, не способно оторваться от его поверхности и что-либо воспринимать вне ее. Как такое существо может узнать геометрические свойства своей "вселенной", то есть, к примеру, отличить сферу от тора? Для двухмерных существ (и, соответственно, двухмерных многообразий) эта задача решена давно. Но как быть трехмерным существам? Какой может быть геометрия их "вселенной", если известно, что хотя бы в некоторых ее местах пространство трехмерно?

В 1983 году Вильям Терстен (William Thursten) из Калифорнийского университета предложил так называемую "программу геометризации", представляющую собой набор гипотез о возможных вариантах геометрий для трехмерных многообразий. Терстен предположил, что таких геометрий (то есть моделей "вселенных", допускающих трехмерность пространства) может быть восемь; шесть из них хорошо обоснованы, одна успешно разрабатывается, но еще одна пока остается проблематичной. Гипотеза Пуанкаре оказывается частным случаем этого наименее разработанного варианта трехмерной геометрии, так что его обоснование означает и решение знаменитой задачи.

Крупный шаг в этом направлении был сделан Ричардом Гамильтоном (Richard Hamilton) в начале 1990-х годов. Он предложил особое дифференциальное уравнение (так называемый "поток Риччи"), исследование которого было бы равнозначно реализации программы Терстена. Работая этим методом, Гамильтон столкнулся, однако, с большими трудностями, преодолеть которые как будто бы удалось Григорию Перельману. Успех его работы, таким образом, будет означать не только доказательство гипотезы Пуанкаре, но и завершение полного описания геометрических структур для трехмерных многообразий.

Нищета и блеск

По условиям Математического института Клэя, Григорий Перельман получит премию в том случае, если в течение двух лет после публикации работы в одном из рецензируемых журналов его доказательство не будет опровергнуто. Результаты Перельмана, однако, пока не доведены до полноценной научной публикации (препринты не считаются таковой). Совсем недавно, в апреле и мае этого года, он прочитал несколько лекций о своих исследованиях в Массачусетском технологическом институте и Университете Стони Брукс - двух крупнейших центрах топологии и геометрии в США. Для математических гипотез такая презентация служит хорошей проверкой на прочность. Пока выводы Григория Перельмана ее выдерживали; хочется надеяться, что выдержат и в дальнейшем.

В любом случае - даже при обнаружении тех или иных недостатков - работа Перельмана представляет выдающийся научный интерес. По мнению специалистов, решение проблемы Пуанкаре приведет к серьезному прогрессу в математическом описании физических процессов в сложных трехмерных объектах и даст новый импульс развитию компьютерной топологии. Причем метод Перельмана, возможно, даже важнее самого решения проблемы Пуанкаре. Если он окажется эффективным (позволит окончательно решить данную задачу), то приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии. По своей значимости это открытие вполне может претендовать на премию Филдса - высшую мировую награду в области математики, эквивалентную Нобелевской (по математике ее не присуждают).

Григорий Перельман, которому сейчас около сорока, посвятил этой работе восемь лет напряженного труда, в течение которых он ничего не публиковал. В своем препринте Перельман благодарит ряд американских университетов, в которых он работал в 1992-1995 годах, за то, что сбережения, сделанные им в то время, помогли реализации его замысла. Эта история демонстрирует высокий потенциал российской, в частности петербургской, математической науки. При ничтожных (по сравнению, например, с физикой) государственных затратах математика способна давать выдающиеся результаты. Так что бродящая в правительственных кругах идея о целесообразности сокращения математических институтов из соображений экономии средств вряд ли обоснованна.

Автор благодарен кандидату физико-математических наук Николаю Евгеньевичу Мневу (Петербургское отделение Математического института им В.А. Стеклова РАН) и доктору физико-математических наук Дмитрию Дмитриевичу Соколову (Физический факультет Московского государственного университета) за их консультации, советы и критику, оказавшие большую помощь при подготовке этого материала.

Санкт-Петербург